Spectral Analysis of High Order Continuous FEM for Hyperbolic PDEs on Triangular Meshes: Influence of Approximation, Stabilization, and Time-Stepping

In this work we study various continuous finite element discretization for two dimensional hyperbolic partial differential equations, varying the polynomial space (Lagrangian on equispaced, Lagrangian on quadrature points (Cubature) and Bernstein), the stabilization techniques (streamline-upwind Petrov–Galerkin, continuous interior penalty, orthogonal subscale stabilization) and the time discretization (Runge–Kutta (RK), strong stability preserving RK and deferred correction). This is an extension of the one dimensional study by Michel et al. (J Sci Comput 89(2):31, 2021. https://doi.org/10.1007/s10915-021-01632-7), whose results do not hold in multi-dimensional frameworks. The study ranks these schemes based on efficiency (most of them are mass-matrix free), stability and dispersion error, providing the best CFL and stabilization coefficients. The challenges in two-dimensions are related to the Fourier analysis. Here, we perform it on two types of periodic triangular meshes varying the angle of the advection, and we combine all the results for a general stability analysis. Furthermore, we introduce additional high order viscosity to stabilize the discontinuities, in order to show how to use these methods for tests of practical interest. All the theoretical results are thoroughly validated numerically both on linear and non-linear problems, and error-CPU time curves are provided. Our final conclusions suggest that Cubature elements combined with SSPRK and OSS stabilization is the most promising combination

Spectral analysis of high order continuous FEM for hyperbolic PDEs on triangular meshes: influence of approximation, stabilization, and time-stepping

arXiv admin note: text overlap with arXiv:2103.16158International audienceIn this work we study various continuous finite element discretization for two dimensional hyperbolic partial differential equations, varying the polynomial space (Lagrangian on equispaced, Lagrangian on quadrature points (Cubature) and Bernstein), the stabilization techniques (streamline-upwind Petrov-Galerkin, continuous interior penalty, orthogonal subscale stabilization) and the time discretization (Runge-Kutta (RK), strong stability preserving RK and deferred correction). This is an extension of the one dimensional study by Michel S. et al J. Sci. Comput. (2021), whose results do not hold in multi-dimensional frameworks. The study ranks these schemes based on efficiency (most of them are mass-matrix free), stability and dispersion error, providing the best CFL and stabilization coefficients. The challenges in two-dimensions are related to the Fourier analysis. Here, we perform it on two types of periodic triangular meshes varying the angle of the advection, and we combine all the results for a general stability analysis. Furthermore, we introduce additional high order viscosity to stabilize the discontinuities, in order to show how to use these methods for tests of practical interest. All the theoretical results are thoroughly validated numerically both on linear and non-linear problems, and error-CPU time curves are provided. Our final conclusions suggest that Cubature elements combined with SSPRK and OSS stabilization is the most promising combination

Spectral Analysis of Continuous FEM for Hyperbolic PDEs: Influence of Approximation, Stabilization, and Time-Stepping

International audienceWe study continuous finite element dicretizations for one dimensional hyperbolic partial differential equations. The main contribution of the paper is to provide a fully discrete spectral analysis, which is used to suggest optimal values of the CFL number and of the stabilization parameters involved in different types of stabilization operators. In particular, we analyze the streamline-upwind Petrov-Galerkin (SUPG) stabilization technique, the continuous interior penalty (CIP) stabilization method and the local projection stabilization (LPS). Three different choices for the continuous finite element space are compared: Bernstein polynomials, Lagrangian polynomials on equispaced nodes, and Lagrangian polynomials on Gauss-Lobatto cubature nodes. For the last choice, we only consider inexact quadrature based on the formulas corresponding to the degrees of freedom of the element, which allows to obtain a fully diagonal mass matrix. We also compare different time stepping strategies, namely Runge-Kutta (RK), strong stability preserving RK (SSPRK) and deferred correction time integration methods. The latter allows to alleviate the computational cost as the mass matrix inversion is replaced by the high order correction iterations. To understand the effects of these choices, both time-continuous and fully discrete Fourier analysis are performed. These allow to compare all the different combinations in terms of accuracy and stability, as well as to provide suggestions for optimal values discretization parameters involved. The results are thoroughly verified numerically both on linear and non-linear problems, and error-CPU time curves are provided. Our final conclusions suggest that cubature elements combined with SSPRK and CIP or LPS stabilization are the most promising combinations

Méthodes éléments finis pour la simulation d’écoulements en eaux peu profondes : Analyse, modélisation et applications à l’hydrodynamique côtière

Cette thèse se fera dans le cadre des activités de l’équipe Inria CARDAMOM en matière de méthodes adaptatives pour les écoulements côtiers. Le travail bénéficiera d’interactions avec le BRGM en matière d’applications réelles, ainsi que d’échanges avec l’Université de Zurich sur certains aspects méthodologiques. L’objectif principal de la thèse est de développer et comparer des approches d’ordres élevés pour la simulation d’écoulements en eaux peu profondes. Plus précisément, l’objectif est d’obtenir des méthodes d’éléments finis continues sans matrice de masse, stables et explicites en temps avec des performances comparables à des schémas de type Galerkin discontinus. La mise en oeuvre se fera dans une bibliothèque éléments finis orientée objets utilisée dans les équipes INRIA CARDAMOM et CAGIRE, ainsi qu’au BRGM. La validation finale se fera sur des cas réels d’intérêt pour la Région Nouvelle Aquitaine et en collaboration étroite avec le BRGM Orléans avec des échanges avec le centre Rivages Pro-Tech de SUEZ. D’autres échanges sont envisagés sur certains aspects du travail, en particulier avec l’Université de Zurich, concernant les méthodes aux résidus et l’analyse des méthodes continues dites stabilisées. Les principales contributions scientifiques de ce travail seront : L’analyse spectrale multidimensionnelle des méthodes numériques éléments finis continues stabilisées.Comparaison et optimisation de celles-ci à différents ordres. La mise en oeuvre d’approches d’ordres élevés et well-balanced en proximité de fronts d’inondation. La validation numérique des méthodes sur des cas universitaires ainsi que des cas réels (exemple d’un cas en Nouvelle-Aquitaine).This phd will be carried out as part of the Inria CARDAMOM team’s activities concerning adaptive methods for coastal flows. The work will benefit from the team’s interactions with the BRGM in terms of real applications, as well as exchanges with the University of Zurich on certain methodological aspects. The main objective is to develop and compare high order and adaptative methods for the simulation of Shallow Water flows. More precisely, the objective is to obtain continuous finite element methods without mass matrix, stable and explicit in time with performances comparable to Galerkin discontinuous methods. The implementation will be done in an object-oriented finite element library used by the INRIA CARDAMOM and CAGIRE teams, as well as at BRGM. The final validation will be done on real cases of interest for the Région Nouvelle-Aquitaine and in close collaboration with the BRGM Orléans with exchanges with the Rivages Pro-Tech center of SUEZ. Further exchanges are envisaged on certain aspects of the work, in particular with the University of Zurich, concerning residual distribution methods and the analysis of stabilized continuous methods. The main scientific contributions of this work will be: Multidimensional spectral analysis of continuous stabilized finite element methods. Comparison and optimization of these at different orders.The implementation of high order and well-balanced approaches near flood fronts. Numerical validation of methods on university cases as well as real cases (example of a case in Nouvelle-Aquitaine)

Finite Element Methods for Shallow Water Equations : Analysis, Modeling and Applications to Coastal Hydrodynamic

Cette thèse se fera dans le cadre des activités de l’équipe Inria CARDAMOM en matière de méthodes adaptatives pour les écoulements côtiers. Le travail bénéficiera d’interactions avec le BRGM en matière d’applications réelles, ainsi que d’échanges avec l’Université de Zurich sur certains aspects méthodologiques. L’objectif principal de la thèse est de développer et comparer des approches d’ordres élevés pour la simulation d’écoulements en eaux peu profondes. Plus précisément, l’objectif est d’obtenir des méthodes d’éléments finis continues sans matrice de masse, stables et explicites en temps avec des performances comparables à des schémas de type Galerkin discontinus. La mise en oeuvre se fera dans une bibliothèque éléments finis orientée objets utilisée dans les équipes INRIA CARDAMOM et CAGIRE, ainsi qu’au BRGM. La validation finale se fera sur des cas réels d’intérêt pour la Région Nouvelle Aquitaine et en collaboration étroite avec le BRGM Orléans avec des échanges avec le centre Rivages Pro-Tech de SUEZ. D’autres échanges sont envisagés sur certains aspects du travail, en particulier avec l’Université de Zurich, concernant les méthodes aux résidus et l’analyse des méthodes continues dites stabilisées. Les principales contributions scientifiques de ce travail seront : L’analyse spectrale multidimensionnelle des méthodes numériques éléments finis continues stabilisées.Comparaison et optimisation de celles-ci à différents ordres. La mise en oeuvre d’approches d’ordres élevés et well-balanced en proximité de fronts d’inondation. La validation numérique des méthodes sur des cas universitaires ainsi que des cas réels (exemple d’un cas en Nouvelle-Aquitaine).This phd will be carried out as part of the Inria CARDAMOM team’s activities concerning adaptive methods for coastal flows. The work will benefit from the team’s interactions with the BRGM in terms of real applications, as well as exchanges with the University of Zurich on certain methodological aspects. The main objective is to develop and compare high order and adaptative methods for the simulation of Shallow Water flows. More precisely, the objective is to obtain continuous finite element methods without mass matrix, stable and explicit in time with performances comparable to Galerkin discontinuous methods. The implementation will be done in an object-oriented finite element library used by the INRIA CARDAMOM and CAGIRE teams, as well as at BRGM. The final validation will be done on real cases of interest for the Région Nouvelle-Aquitaine and in close collaboration with the BRGM Orléans with exchanges with the Rivages Pro-Tech center of SUEZ. Further exchanges are envisaged on certain aspects of the work, in particular with the University of Zurich, concerning residual distribution methods and the analysis of stabilized continuous methods. The main scientific contributions of this work will be: Multidimensional spectral analysis of continuous stabilized finite element methods. Comparison and optimization of these at different orders.The implementation of high order and well-balanced approaches near flood fronts. Numerical validation of methods on university cases as well as real cases (example of a case in Nouvelle-Aquitaine)

Méthodes éléments finis pour la simulation d’écoulements en eaux peu profondes : Analyse, modélisation et applications à l’hydrodynamique côtière

This phd will be carried out as part of the Inria CARDAMOM team’s activities concerning adaptive methods for coastal flows. The work will benefit from the team’s interactions with the BRGM in terms of real applications, as well as exchanges with the University of Zurich on certain methodological aspects. The main objective is to develop and compare high order and adaptative methods for the simulation of Shallow Water flows. More precisely, the objective is to obtain continuous finite element methods without mass matrix, stable and explicit in time with performances comparable to Galerkin discontinuous methods. The implementation will be done in an object-oriented finite element library used by the INRIA CARDAMOM and CAGIRE teams, as well as at BRGM. The final validation will be done on real cases of interest for the Région Nouvelle-Aquitaine and in close collaboration with the BRGM Orléans with exchanges with the Rivages Pro-Tech center of SUEZ. Further exchanges are envisaged on certain aspects of the work, in particular with the University of Zurich, concerning residual distribution methods and the analysis of stabilized continuous methods. The main scientific contributions of this work will be: Multidimensional spectral analysis of continuous stabilized finite element methods. Comparison and optimization of these at different orders.The implementation of high order and well-balanced approaches near flood fronts. Numerical validation of methods on university cases as well as real cases (example of a case in Nouvelle-Aquitaine).Cette thèse se fera dans le cadre des activités de l’équipe Inria CARDAMOM en matière de méthodes adaptatives pour les écoulements côtiers. Le travail bénéficiera d’interactions avec le BRGM en matière d’applications réelles, ainsi que d’échanges avec l’Université de Zurich sur certains aspects méthodologiques. L’objectif principal de la thèse est de développer et comparer des approches d’ordres élevés pour la simulation d’écoulements en eaux peu profondes. Plus précisément, l’objectif est d’obtenir des méthodes d’éléments finis continues sans matrice de masse, stables et explicites en temps avec des performances comparables à des schémas de type Galerkin discontinus. La mise en oeuvre se fera dans une bibliothèque éléments finis orientée objets utilisée dans les équipes INRIA CARDAMOM et CAGIRE, ainsi qu’au BRGM. La validation finale se fera sur des cas réels d’intérêt pour la Région Nouvelle Aquitaine et en collaboration étroite avec le BRGM Orléans avec des échanges avec le centre Rivages Pro-Tech de SUEZ. D’autres échanges sont envisagés sur certains aspects du travail, en particulier avec l’Université de Zurich, concernant les méthodes aux résidus et l’analyse des méthodes continues dites stabilisées. Les principales contributions scientifiques de ce travail seront : L’analyse spectrale multidimensionnelle des méthodes numériques éléments finis continues stabilisées.Comparaison et optimisation de celles-ci à différents ordres. La mise en oeuvre d’approches d’ordres élevés et well-balanced en proximité de fronts d’inondation. La validation numérique des méthodes sur des cas universitaires ainsi que des cas réels (exemple d’un cas en Nouvelle-Aquitaine)

Finite Element Methods for Shallow Water Equations : Analysis, Modeling and Applications to Coastal Hydrodynamic

Cette thèse se fera dans le cadre des activités de l’équipe Inria CARDAMOM en matière de méthodes adaptatives pour les écoulements côtiers. Le travail bénéficiera d’interactions avec le BRGM en matière d’applications réelles, ainsi que d’échanges avec l’Université de Zurich sur certains aspects méthodologiques. L’objectif principal de la thèse est de développer et comparer des approches d’ordres élevés pour la simulation d’écoulements en eaux peu profondes. Plus précisément, l’objectif est d’obtenir des méthodes d’éléments finis continues sans matrice de masse, stables et explicites en temps avec des performances comparables à des schémas de type Galerkin discontinus. La mise en oeuvre se fera dans une bibliothèque éléments finis orientée objets utilisée dans les équipes INRIA CARDAMOM et CAGIRE, ainsi qu’au BRGM. La validation finale se fera sur des cas réels d’intérêt pour la Région Nouvelle Aquitaine et en collaboration étroite avec le BRGM Orléans avec des échanges avec le centre Rivages Pro-Tech de SUEZ. D’autres échanges sont envisagés sur certains aspects du travail, en particulier avec l’Université de Zurich, concernant les méthodes aux résidus et l’analyse des méthodes continues dites stabilisées. Les principales contributions scientifiques de ce travail seront : L’analyse spectrale multidimensionnelle des méthodes numériques éléments finis continues stabilisées.Comparaison et optimisation de celles-ci à différents ordres. La mise en oeuvre d’approches d’ordres élevés et well-balanced en proximité de fronts d’inondation. La validation numérique des méthodes sur des cas universitaires ainsi que des cas réels (exemple d’un cas en Nouvelle-Aquitaine).This phd will be carried out as part of the Inria CARDAMOM team’s activities concerning adaptive methods for coastal flows. The work will benefit from the team’s interactions with the BRGM in terms of real applications, as well as exchanges with the University of Zurich on certain methodological aspects. The main objective is to develop and compare high order and adaptative methods for the simulation of Shallow Water flows. More precisely, the objective is to obtain continuous finite element methods without mass matrix, stable and explicit in time with performances comparable to Galerkin discontinuous methods. The implementation will be done in an object-oriented finite element library used by the INRIA CARDAMOM and CAGIRE teams, as well as at BRGM. The final validation will be done on real cases of interest for the Région Nouvelle-Aquitaine and in close collaboration with the BRGM Orléans with exchanges with the Rivages Pro-Tech center of SUEZ. Further exchanges are envisaged on certain aspects of the work, in particular with the University of Zurich, concerning residual distribution methods and the analysis of stabilized continuous methods. The main scientific contributions of this work will be: Multidimensional spectral analysis of continuous stabilized finite element methods. Comparison and optimization of these at different orders.The implementation of high order and well-balanced approaches near flood fronts. Numerical validation of methods on university cases as well as real cases (example of a case in Nouvelle-Aquitaine)

Méthodes éléments finis pour la simulation d’écoulements en eaux peu profondes : Analyse, modélisation et applications à l’hydrodynamique côtière

This phd will be carried out as part of the Inria CARDAMOM team’s activities concerning adaptive methods for coastal flows. The work will benefit from the team’s interactions with the BRGM in terms of real applications, as well as exchanges with the University of Zurich on certain methodological aspects. The main objective is to develop and compare high order and adaptative methods for the simulation of Shallow Water flows. More precisely, the objective is to obtain continuous finite element methods without mass matrix, stable and explicit in time with performances comparable to Galerkin discontinuous methods. The implementation will be done in an object-oriented finite element library used by the INRIA CARDAMOM and CAGIRE teams, as well as at BRGM. The final validation will be done on real cases of interest for the Région Nouvelle-Aquitaine and in close collaboration with the BRGM Orléans with exchanges with the Rivages Pro-Tech center of SUEZ. Further exchanges are envisaged on certain aspects of the work, in particular with the University of Zurich, concerning residual distribution methods and the analysis of stabilized continuous methods. The main scientific contributions of this work will be: Multidimensional spectral analysis of continuous stabilized finite element methods. Comparison and optimization of these at different orders.The implementation of high order and well-balanced approaches near flood fronts. Numerical validation of methods on university cases as well as real cases (example of a case in Nouvelle-Aquitaine).Cette thèse se fera dans le cadre des activités de l’équipe Inria CARDAMOM en matière de méthodes adaptatives pour les écoulements côtiers. Le travail bénéficiera d’interactions avec le BRGM en matière d’applications réelles, ainsi que d’échanges avec l’Université de Zurich sur certains aspects méthodologiques. L’objectif principal de la thèse est de développer et comparer des approches d’ordres élevés pour la simulation d’écoulements en eaux peu profondes. Plus précisément, l’objectif est d’obtenir des méthodes d’éléments finis continues sans matrice de masse, stables et explicites en temps avec des performances comparables à des schémas de type Galerkin discontinus. La mise en oeuvre se fera dans une bibliothèque éléments finis orientée objets utilisée dans les équipes INRIA CARDAMOM et CAGIRE, ainsi qu’au BRGM. La validation finale se fera sur des cas réels d’intérêt pour la Région Nouvelle Aquitaine et en collaboration étroite avec le BRGM Orléans avec des échanges avec le centre Rivages Pro-Tech de SUEZ. D’autres échanges sont envisagés sur certains aspects du travail, en particulier avec l’Université de Zurich, concernant les méthodes aux résidus et l’analyse des méthodes continues dites stabilisées. Les principales contributions scientifiques de ce travail seront : L’analyse spectrale multidimensionnelle des méthodes numériques éléments finis continues stabilisées.Comparaison et optimisation de celles-ci à différents ordres. La mise en oeuvre d’approches d’ordres élevés et well-balanced en proximité de fronts d’inondation. La validation numérique des méthodes sur des cas universitaires ainsi que des cas réels (exemple d’un cas en Nouvelle-Aquitaine)

Optimisation de tournées de techniciens en temps réel

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Spectral analysis of continuous FEM for hyperbolic PDEs: Influence of approximation, stabilization, and time-stepping

We study continuous finite element dicretizations for one dimensional hyperbolic partial differential equations. The main contribution of the paper is to provide a fully discrete spectral analysis, which is used to suggest optimal values of the CFL number and of the stabilization parameters involved in different types of stabilization operators. In particular, we analyze the streamline-upwind Petrov–Galerkin stabilization technique, the continuous interior penalty (CIP) stabilization method and the orthogonal subscale stabilization (OSS). Three different choices for the continuous finite element space are compared: Bernstein polynomials, Lagrangian polynomials on equispaced nodes, and Lagrangian polynomials on Gauss-Lobatto cubature nodes. For the last choice, we only consider inexact quadrature based on the formulas corresponding to the degrees of freedom of the element, which allows to obtain a fully diagonal mass matrix. We also compare different time stepping strategies, namely Runge–Kutta (RK), strong stability preserving RK (SSPRK) and deferred correction time integration methods. The latter allows to alleviate the computational cost as the mass matrix inversion is replaced by the high order correction iterations. To understand the effects of these choices, both time-continuous and fully discrete Fourier analysis are performed. These allow to compare all the different combinations in terms of accuracy and stability, as well as to provide suggestions for optimal values discretization parameters involved. The results are thoroughly verified numerically both on linear and non-linear problems, and error-CPU time curves are provided. Our final conclusions suggest that cubature elements combined with SSPRK and CIP or OSS stabilization are the most promising combinations